Cours 7.<br />- un problème de son durant la 2ème heure sera corrigé...-<br />Dans ce cours, on s'intéresse à la construction et au contrôle d'une Parametrix pour la solution de l'équation des ondes homogènes sur un espace temps courbe .<br />Cette parametrix est un opérateur intégral de Fourier avec une phase u et correspond au terme le plus fondamental de la parametrix de l'optique géométrique. L'objet de ce cours est l'étude de la troisième sous-étape de cette construction qui consiste à contrôler la géometrie du feuilletage de l'espace-temps par les hypersurfaces de niveau de la solution u de l'equation Eikonale.<br />On commence par définir les quantités géométriques contrôlant la géometrie des<br />hypersurfaces nulles. On associe en particulier à la solution u de l'équation<br />Eikonale son lapse, un repère nul, un feuilletage par 2 des surfaces, et la<br />seconde forme fondamentale nulle. On rappelle également les équations de<br />structures satisfaites en particulier par le repère nul, et la seconde forme<br />fondamentale nulle. Le reste du cours concerne le contrôle de la seconde forme fondamentale nulle<br />lorsque l'on suppose uniquement une borne L^2 sur le tenseur de courbure. On décompose la seconde forme fondamentale en sa trace et sa partie sans trace, vérifiant respectivement une equation de transport (équation de Raychadhouri), et une équation elliptique (equation de Codazzi). On montre en particulier comment utiliser les identités de Bianchi et des theoremes de trace pour eviter une divergence logarithmique. On est egalement oblige d'estimer la secondes formes fondamentales dans un espace de type Besov. On termine le cours par la définition et les principales propriétés d'une analyse de Littlewood-Paley géométrique permettant de définir notre espace de Besov.
